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Probability（概率论）

本页是回查手册。世界模型的形式化语言是概率：belief state、观测噪声、随机动力学、不确定性量化全部建立在以下最小集上。

最小知识集​

  • 条件分布与贝叶斯：p(s∣o)∝p(o∣s) p(s)p(s \mid o) \propto p(o \mid s)\, p(s)——观测更新的全部内容。
  • 高斯分布与协方差：Kalman filter、RSSM 的随机状态、3D Gaussian Splatting 都是高斯；会读均值/协方差的几何含义。
  • 马尔可夫性：p(st+1∣st,st−1,… )=p(st+1∣st)p(s_{t+1} \mid s_t, s_{t-1}, \dots) = p(s_{t+1} \mid s_t)——"状态是未来的充分统计量"的数学表述。
  • 隐变量与边际化：p(o)=∫p(o∣z) p(z) dzp(o) = \int p(o \mid z)\, p(z)\, dz——VAE、belief state、粒子滤波共用这一结构。
  • 期望与蒙特卡洛估计：CEM/MPPI 规划器、policy gradient 的梯度估计都靠采样逼近期望。

何时回查​

主线模块用到的概率
路线 A 02 观测、状态与 POMDP贝叶斯、belief state、边际化
路线 A 05/06 潜在动力学 / RSSM隐变量模型、KL 散度、ELBO
路线 A 09 Planning采样估计、期望回报
路线 A 12 / 路线 B 06不确定性（aleatoric vs epistemic）、校准

最佳外部资源​

  • 《Probabilistic Machine Learning: Basics》（Kevin Murphy, probml.github.io/pml-book）第 2–4 章：免费 PDF，ML 视角。
  • Seeing Theory（seeing-theory.brown.edu）：交互式可视化，重建直觉最快。
  • CIS6280 L02 History, Foundations, Probabilistic Formulation（PDF）：世界模型语境下的概率形式化示范。

自查​

能从联合分布推出条件分布、能解释协方差矩阵椭圆的方向与长短轴、能说明马尔可夫性与"历史压缩"的关系，即达标。

下一步​

回到主线：路线 A 模块 02 或 路线 B 模块 06